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Numerische Verfahren für Differentialgleichungen

Bei der Vorhersage des Verhaltens eines physikalischen, chemischen oder auch wirtschaftlichen Systems verwendet man sehr häufig Differentialgleichungen. Typisch sind etwa Anfangswertprobleme, bei denen aus einem Anfangszustand des Systems unter der Annahme geeigneter Modellgleichungen Rückschlüsse auf seinen Zustand in der Zukunft gezogen werden. Ein anderes Beispiel sind parabolische Differentialgleichungen, die beispielsweise das Verhalten elektromagnetischer Felder beschreiben.

Die Vorlesung behandelt

  • beispielhaft einige Modelle aus der Physik, die durch Differentialgleichungen beschrieben werden,
  • die Behandlung gewöhnlicher Differentialgleichungen durch Einschrittverfahren, beispielsweise das Runge-Kutta-Verfahren,
  • verfeinerte Techniken für gewöhnliche Differentialgleichungen, beispielsweise Extrapolationsmethoden oder Schrittweitensteuerung,
  • die Diskretisierung elliptischer Differentialgleichungen mit dem Finite-Differenzen-Verfahren am Beispiel der Potentialgleichung,
  • die Diskretisierung parabolischer Differentialgleichungen mit der Linienmethode am Beispiel der Wärmeleitungsgleichung,
  • die Grundzüge des Finite-Elemente-Verfahrens sowie
  • grundlegende Lösungsalgorithmen für die bei den letztgenannten Ansätzen auftretenden großen Gleichungssysteme.
 

 Die Vorlesung orientiert sich an einem Skript des Dozenten.

Veranstaltungen:

SS 14SS 12