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Numerik von Eigenwertproblemen

Inhalt

Lineare Gleichungssysteme beschreiben in der Physik häufig die Reaktion eines Systems auf äußere Kräfte. In bestimmten Fällen ist man aber auch an dem Verhalten eines Systems in Abwesenheit solcher Kräfte interessiert, beispielsweise um Resonanzphänomene wie das Schwingen einer Gitarrensaite zu erforschen. Mathematisch führen solche Fragestellungen zu Eigenwertproblemen, die sich, anders als die eng verwandten lineare Gleichungssystem, in der Regel nicht exakt lösen lassen. Stattdessen kommen numerische Verfahren zum Einsatz, die beliebig gute Näherungslösungen berechnen.

Die Vorlesung behandelt

  • die Jacobi-Iteration als Beispiel für einen besonders einfachen Algorithmus, der trotzdem sehr zuverlässig arbeitet,
  • die Vektoriteration als das grundlegende Verfahren für die Berechnung einzelner Eigenwerte und Eigenvektoren,
  • die inverse Iteration und die Rayleigh-Iteration als erheblich verbesserte Versionen der Vektoriteration,
  • die orthogonale Iteration zur Berechnung mehrfacher Eigenwerte,
  • die QR-Iteration, das derzeit gängige Standardverfahren für die numerische Berechnung aller Eigenwerte und Eigenvektoren,
  • das Lanczos-Verfahren für schwachbesetzte Matrizen sowie
  • spezialisierte Verfahren für besonders große Eigenwertprobleme.
 
Die Vorlesung orientiert sich an einem Skript des Dozenten.
 

Veranstaltungen:

SS13