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Numerical Methods for Partial Differential Equations

Partielle Differentialgleichungen spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung naturwissenschaftliche Phänomene, beispielsweise bei elektromagnetischen Feldern, akustischen Wellen, in der Struktur- oder Strömungsmechanik. Gegenüber gewöhnlichen Differentialgleichungen zeichnen sie sich dadurch aus, dass partielle Ableitungen in mehreren Variablen auftreten, so dass einfache Zeitschrittverfahren nicht mehr zum Einsatz kommen können. Stattdessen wird in der Regel die Differentialgleichung im Rahmen einer Diskretisierung in ein großes Gleichungssystem übersetzt, das sich mit Hilfe effizienter Algorithmen lösen lässt.

Die Vorlesung befasst sich mit grundlegenden Diskretisierungstechniken und entwickelt die für deren Analyse erforderlichen theoretischen Grundlagen. Von besonderer Bedeutung ist dabei natürlich immer die Konvergenz der Diskretisierung, also ob und, falls ja, wie schnell sie berechneten Näherungslösungen gegen die exakte Lösung streben. Ebenfalls von Bedeutung sind Konsistenz und Stabilität der Techniken.

In der Vorlesung werden die folgenden Themengebiete behandelt:

  • Finite-Differenzen-Verfahren für die Potentialgleichung
  • Diskretes Maximum-Prinzip, Stabilität, Konvergenz
  • Perron-Frobenius-Theorie, M-Matrizen
  • Linienverfahren für die Wärmeleitungsgleichung
  • Variationsaufgaben in Hilbert-Räumen
  • Galerkin-Diskretisierung, Céa-Lemma
  • Finite-Elemente-Verfahren, Konvergenz
  • Vertiefungen und Ergänzungen

 

Veranstaltungen:

SS 2016