Scientific Computing

Approximation der Wellengleichung

Beteiligte: Steffen Börm, Sven Christophersen, Christina Börst

Die numerischer Simulation der Streuung einer Welle an einem Körper lässt sich auf Integralgleichungen auf der Oberfläche des Körpers zurückführen. Gegenüber einer konventionellen Finite-Elemente-Diskretisierung bietet dieser Ansatz den Vorteil, dass statt eines vollständigen Volumengitters lediglich ein Gitter für die Oberfläche benötigt wird, so dass sich die Anzahl der Freiheitsgrade erheblich reduziert. Allerdings sind die auftretenden Integraloperatoren nicht-lokal, so dass im Prinzip jeder Punkt der Oberfläche jeden anderen Punkt beeinflussen kann.

Bei der Diskretisierung entstehen so vollbesetzte Matrizen, die geeignet komprimiert werden müssen, um auch komplexe Simulationen mit einer hohen Auflösung bei vertretbarem Zeit- und Speicheraufwand behandeln zu können. Dabei tritt die Schwierigkeit auf, dass die in den Operatoren auftretenden Kernfunktionen oszillieren, also sich nicht gut mit konventionellen Polynomen approximieren lassen.

Wir entwickeln spezialisierte Techniken, die die H2-Matrix-Darstellung erweitern, um auch hochfrequente Wellenphänomene zuverlässig und effizient simulieren zu können.

Ein erstes Beispiel ist die Simulation der Streuung einer ebenen Welle an der dreidimensionalen Einheitssphäre. Die unten stehende Grafik stellt die Welle in einem Querschnitt durch das dreidimensionale Rechengebiet dar.

 Helmholtz, Kugel

"Glatte" Oberflächen sind in der Regel mathematisch gutartiger als solche mit Kanten. Deshalb überprüfen wir unsere Implementierung auch an einem Gebiet mit Kanten, nämlich zunächst an einer Welle, die auf einen langgezogenen Quader trifft. Die folgende Grafik stellt wieder die Welle in einem Querschnitt dar. In der Animation (Klick auf die Grafik) erkennt man gut die Interferenz der eintreffenden und reflektierten Welle.

Helmholtz, Quader