Scientific Computing

Approximation von Integralgleichungen

Beteiligte: Steffen Börm, Jessica Gördes, Sven Christophersen

Gefördert durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft, Projekt BO 3289/2-1 "Separation der Fundamentallösungen elliptischer Differentialgleichungen mit Hilfe von Quadraturverfahren"

Elliptische Differentialgleichungen lassen sich unter bestimmten Bedingungen mit Hilfe der Randintegralmethode auf Integralgleichungen zurückführen. Dadurch reduziert sich die Anzahl der Unbekannten erheblich, allerdings sind die resultierenden Operatoren nicht-lokal und die durch typische Diskretisierungstechniken entstehenden Matrizen vollbesetzt, so dass sie nur für relativ niedrige Auflösungen aufgestellt werden können, da sonst der Speicherbedarf zu groß werden würde.

Einen Ausweg bieten Techniken, mit denen sich die Matrizen komprimieren lassen, so dass sie mit wesentlich weniger Speicher auskommen. Wir untersuchen einen Ansatz, der auf denselben Prinzipien wie die Randintegralmethode beruht: Den auftretenden Integraloperatoren liegt eine Kernfunktion zugrunde, die auf geeigneten Teilgebieten durch ein Randintegral dargestellt werden kann. Durch eine geschickte Wahl dieser Gebiete können wir dafür sorgen, dass die Funktion auf dem Rand glatt genug ist, um sich durch eine Quadraturformel approximieren zu lassen. Das Ergebnis ist eine hierarchische Matrix, die mit wesentlich weniger Speicher als der klassische Ansatz auskommt und es uns so ermöglicht, auch mit sehr hohen Auflösungen noch effizient zu arbeiten.

Besonders attraktiv wird dieser Ansatz durch eine kleine Modifikation, mit deren Hilfe er sich zur Konstruktion von H²-Matrizen eignet, die nicht nur den Speicherbedarf weiter senken, sondern auch das Lösen der resultierenden Gleichungssysteme beschleunigen.