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Forschung: Übersicht

Zur Zeit konzentriert sich die Forschung der Arbeitsgruppe auf die folgenden Projekte:

  • H²-Matrix-Arithmetik: Bestimmte vollbesetzte Matrizen, die beispielsweise bei der Behandlung von Integral- oder Differentialgleichungen auftreten, lassen sich mit Hilfe der H²-Matrix-Kompression besonders effizient darstellen. In diesem Projekt befassen wir uns mit der Frage, wie sich grundlegende Operationen der linearen Algebra, beispielsweise die Multiplikation, Invertierung oder Faktorisierung, für derart komprimierte Matrizen durchführen lassen, ohne die durch die Kompression erreichte Effizienz aufgeben zu müssen.
  • Approximation von Integralgleichungen: Bei der Behandlung von Integralgleichungen, die im Kontext der Randintegralmethode auftreten, besitzt die Kernfunktion des Integraloperators besondere Eigenschaften, die sich ausnutzen lassen, um die korrespondierenden Matrizen zu komprimieren. Im Rahmen dieses Projekts steht insbesondere die Greensche Darstellungsformel im Mittelpunkt des Interesses, mit deren Hilfe sich die Kernfunktion durch ein Randintegral darstellen lässt, aus dem sich mit Hilfe klassischer Quadraturverfahren Approximationen konstruieren lassen.
  • Approximation der Wellengleichung: Eine besonders interessante Klasse von Integralgleichungen entsteht bei der Untersuchung der Wellengleichung: Die auftretende Helmholtz-Kernfunktion oszilliert mit der Frequenz der Welle, so dass sie sich nur schlecht durch konventionelle Polynome approximieren lässt. Im Rahmen dieses Projekts untersuchen wir alternative Approximationstechniken, die zu einer Verallgemeinerung der H2-Matrix-Darstellung führen.
  • Matrix-Galerkin-Verfahren: Die Lösungen bestimmter Matrixgleichungen, die beispielsweise bei der Untersuchung stochastischer Differentialgleichungen oder bei steuerungstheoretischen Fragestellungen eine Rolle spielen, weisen häufig Eigenschaften auf, die es nahelegen, sie durch H²-Matrizen zu approximieren. In diesem Projekt untersuchen wir eine neue Methode, mit der sich diese H²-Matrix-Approximationen als Lösung eines linearen Gleichungssystems konstruieren lassen.